درسنامه آموزشی فیزیک (2) کلاس یازدهم تجربی
فصل 1: انرژی پتانسیل الکتریکی
دو ذرّهٔ باردار الکتریکی شکل 1-21 را در نظر بگیرید که در آن، بار $+{{q}_{1}}$ در جای خود ثابت و بار $+{{q}_{2}}$ در فضای اطراف آن رها شده است. میدانیم بار $+{{q}_{2}}$ بر اثر میدان الکتریکی حاصل از بار $+{{q}_{1}}$ از آن رانده و دارای انرژی جنبشی میشود. طبق قانون پایستگی انرژی، انرژی جنبشی نمیتواند خود به خود به وجود آمده باشد. به نظر شما این انرژی جنبشی از کجا آمده است؟ این انرژی، ناشی از تغییر (در اینجا کاهش) انرژی پتانسیلی است که به نیروی الکتریکی بین دو ذرّهٔ شکل 1-21 وابسته است و همان طور که در کتاب فیزیک سال دهم دیدید به آن انرژی پتانسیل الکتریکی میگوییم. برای آنکه به توصیفی کمّی از این انرژی دست یابیم، میدان الکتریکی یکنواختی را مطابق شکل 1-22 درنظر میگیریم که در فضای میان دو صفحهٔ باردار برقرار شده است.
|
|
اگر بار الکتریکی $+q$ را از مجاورت صفحه مثبت رها کنیم، تحت تأثیر میدان الکتریکی (با چشم پوشی از گرانش)، به طرف صفحهٔ منفی شروع به حرکت میکند و به تدریج تندی و انرژی جنبشی آن افزایش مییابد. این وضعیت، شبیه چیزی است که در کتاب فیزیک سال دهم دیدیم. در آنجا نیز مشاهده کردیم که وقتی جسمی به جرم $m$ از ارتفاع $h$ رها میشود، جسم رو به پایین حرکت کرده و انرژی جنبشی آن بر اثر کاهش انرژی پتانسیل گرانشی به تدریج افزایش مییابد (شکل 1-23). همچنین دیدیم که کار نیروی گرانشی برابر با منفیِ تغییر انرژی پتانسیل گرانشی است $({{W}_{g}}=-\Delta {{U}_{g}})$.
در اینجا نیز میتوان گفت: کار نیروی الکتریکی وارد بر یک ذرّه باردار در میدان الکتریکی یکنواخت $\overrightarrow{E}$ در یک جابهجایی مشخص برابر با منفیِ تغییر انرژی پتانسیل الکتریکی در همان جابهجایی است؛ یعنی:
(7-1) ${{W}_{E}}=-\Delta {{U}_{E}}$
گرچه این رابطه برای یک میدان الکتریکی یکنواخت بیان شد، ولی میتوان نشان داد که در حالت کلی نیز برای هر میدان الکتریکی برقرار است.
بار ذرّهای $q$ را در میدان الکتریکی یکنواخت $\overrightarrow{E}$ در نظر بگیرید که جابهجایی $\overrightarrow{d}$ را موازی میدان الکتریکی، انجام میدهد (شکل 1-22). طبق تعریف کار که در سال قبل دیدید، کار انجام شده توسط نیروی الکتریکی ثابت ${{\overrightarrow{F}}_{E}}$ در طی جابه جایی $\overrightarrow{d}$ از رابطهٔ زیر بهدست میآید:
${{W}_{E}}=({{F}_{E}}\cos \theta )d={{F}_{E}}d\cos \theta $
با توجه به اینکه ${{F}_{E}}=|q|E$ است، این رابطه به صورت زیر میشود:
${{W}_{E}}=|q|Ed\cos \theta $
اکنون با استفاده از رابطهٔ 1-7 تغییر انرژی پتانسیل الکتریکی بار ذرّهای $q$ چنین محاسبه میشود:
(8-1) $\Delta {{U}_{E}}=-{{W}_{E}}=-|q|Ed\cos \theta $
که در آن، $\theta $ زاویهٔ بین نیروی ${{\overrightarrow{F}}_{E}}$ و جابهجایی $\overrightarrow{d}$ است. (در این کتاب، در استفاده از رابطهٔ 1-8، صرفاً با جابه جاییهای هم راستا با میدان الکتریکی و یا عمود بر میدان الکتریکی سر و کار خواهیم داشت.) در این رابطه، بار الکتریکی $(q)$ بر حسب کولن $(C)$، بزرگی میدان الکتریکی $(E)$ بر حسب نیوتون بر کولن $(N/C)$، اندازهٔ جابهجایی $(d)$ بر حسب متر $(m)$ و تغییر انرژی پتانسیل الکتریکی $(\Delta {{U}_{E}})$ بر حسب ژول $(J)$ است. توجه کنید که این رابطه چه برای بار ذرّهای مثبت و چه برای بار ذرّهای منفی برقرار است.
مثال 1-9
در یک میدان الکتریکی یکنواخت $E=2/0\times {{10}^{3}}N/C$ پروتونی از نقطهٔ $A$ با سرعت ${{\vec{u}}_{{}^\circ }}$ در خلاف جهت میدان الکتریکی پرتاب شده است. پروتون سرانجام در نقطهٔ $B$ متوقف میشود. بار پروتون $1/6\times {{10}^{-19}}C$ و جرم ان $1/67\times {{10}^{-27}}kg$ است.
الف) تغییر انرژی پتانسیل الکتریکی پروتون در این جابه جایی چقدر است؟
ب) تندی پرتاب پروتون را پیدا کنید (از وزن پروتون و مقاومت هوا چشم پوشی شود).
پاسخ:
الف) با توجه به رابطهٔ 1-8 داریم:
$\Delta {{U}_{E}}=-{{W}_{E}}=-|q|Ed\cos \theta =-(1/6\times {{10}^{-19}}C)(2/0\times {{10}^{3}}N/C)(10\times {{10}^{-2}}m)(\cos 180{}^\circ )=3/2\times {{10}^{-17}}J$
ب) طبق قضیهٔ کار - انرژی جنبشی میتوان نوشت:
$\begin{align}
& {{W}_{E}}=\Delta K\Rightarrow -\Delta {{U}_{E}}=\frac{1}{2}m(0-u_{0}^{2})-3/2\times {{10}^{-17}}J=\frac{1}{2}(1/67\times {{10}^{-27}}kg)(-u_{0}^{2}) \\
& \Rightarrow {{u}_{0}}=1/96\times {{10}^{5}}m/s\approx 2/0\times {{10}^{5}}m/s \\
\end{align}$
تمرین 1-8 (صفحهٔ 21 کتاب درسی)
در مثال 1-10 اگر جای قطبهای باتری عوض شود و پروتون را در نقطهٔ $A$ از حالت سکون رها کنیم، پروتون با چه تندیای به نقطهٔ $B$ میرسد؟
${{W}_{E}}=\Delta K$ :قضیه کارو انرژی جنبشی
$\to {{W}_{E}}=\frac{1}{2}m{{V}^{2}}-\frac{1}{2}mV_{.}^{2}$
$\to {{W}_{E}}=\frac{1}{2}m{{V}^{2}}\to -\Delta {{U}_{E}}=\frac{1}{2}m{{V}^{2}}$
$\to |q|Ed\cos \theta =\frac{1}{2}m{{V}^{2}}\to 1/6\times {{10}^{-19}}\times 2\times {{10}^{3}}\times 0/1\times 1=\frac{1}{2}\times 1/67\times {{10}^{-27}}\times {{V}^{2}}$
$\to {{V}^{2}}=\frac{3/2\times {{10}^{-17}}}{0/835\times {{10}^{-27}}}\to v\simeq \sqrt{\frac{3/2}{0/835}\times {{10}^{10}}}\frac{m}{s}\to v\simeq 1/96\times {{10}^{5}}\frac{m}{s}$